GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Docenti: 
TOMASSINI Adriano
Crediti: 
9
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua dell'insegnamento: 

Italiano.

Obiettivi formativi

Il corso ha come obiettivi principali lo studio delle proprietà geometriche delle varietà differenziabili, con particolare riferimento agli aspetti coomologici di esse.

Prerequisiti

Analisi 1, 2, Geometria 1, 2, Algebra.

Contenuti dell'insegnamento

Geometria differenziale.

Programma esteso

1. Varietà differenziabili.

1.1 Preliminari topologici
1.2 Definizione di varietà. Esempi.
1.3 Spazio tangente. Applicazioni differenziabili. Differenziale.
1.4 Campi vettoriali.
1.5 Sottovarietà.

2. Tensori e forme differenziali.

2.1 Algebra tensoriale.
2.2 Fibrati tensoriali. Forme differenziali. L'operatore d.
2.3 Derivata di Lie.

3. Integrazione su varietà.

3.1 Varietà orientabili.
3.2 La definizione di integrale.
3.3 Il teorema di Stokes.

4. Coomologia di de Rham e teoria di Hodge.

4.1 Il complesso di de Rham. Gruppi di coomologia.
4.2 Il lemma di Poincare'.
4.3 L'operatore star di Hodge.
4.4 Il teorema di Hodge. La dualita' di Poincare'.
4.5 Applicazioni e calcolo della coomologia di alcuni spazi.

5. Elementi di gruppi e algebre di Lie. Prime nozioni di geometria Riemanniana.

5.1 Gruppi di e algebre di Lie: definizioni ed esempi.
5.2 L'algebra di Lie di un gruppo. L'applicazione esponenziale.
5.3 Gruppi di matrici.
5.4 Metriche Riemanniane. Connessione di Levi-Civita. Curvatura di Riemann. Curvatura di Ricci.
5.5 Metriche invarianti su gruppi di Lie e proprietà di curvatura.

6. Argomenti di teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
6.1. Il teorema di Liouville.
6.2 Il teorema fondamentale dell'algebra.
6.3 Sviluppo in serie di Laurent. Il teorema dei residui.
6.4. Il teorema dell'applicazione aperta.
6.5. Funzioni meromorfe.
6.6. Applicazioni conformi.

7. Argomenti di topologia algebrica.
7.1 Rivestimenti topologici.
7.2 Trasformazioni di rivestimento.
7.3 Rivestimenti e gruppo fondamentale.
7.4 Il rivestimento universale.

Testi di riferimento:

[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando,
FL, 1986. xvi+430 pp.

[2] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1983. ix+272

Bibliografia

[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando,
FL, 1986. xvi+430 pp.
[2] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1983. ix+272
[3] R. V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1948. vi+216 pp.
[4] H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, Inc., New York, 1995. 228 pp.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.

Modalità verifica apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale in date differenti.

Altre informazioni